Bogányi Bence magyar zenészcsaládból származik. Az első fagott óráit 9 évesen Bokor Györgytől kapta, Helsinkiben László Hara, később a Sibelius Akadémián Jussi Särkkä növendékeként folytatta tanulmányait. Nordplus-ösztöndíjasként tanult Malmőben, Asger Svendsennél, majd egy évet Helman Jungnál a Detmoldi Zeneművészeti Főiskolán. Berlinben, a Hanns Eisler Zeneakadémián Prof. Klaus Thünemann tanítványaként diplomázott 2004-ben, a vizsgakoncerten kitüntetéssel végzett.
1997-ben Bogányi Bence nyerte az első díjat a finnországi Nemzetközi Crusell-versenyen. 2004-ben második helyezést ért el a Nemzetközi Jean Francaix Zenei Verseny Párizsban, 2006-ban első díjat nyert a nemzetközi Fernand Gillet-Hugo Fox Versenyen (Indianapolis, USA), és ugyanebben évben a Chantilly Kvintettel együtt a Nemzetközi ARD Zenei Verseny második díját és közönségdíjat nyerte el Münchenben.
1997-ben kapta az első állását szóló fagottosként a Helsinki Állami Operaházban; 2002-ben került ugyanebbe a pozícióba a Helsinki Filharmonikus Zenekarhoz, mielőtt a Berlini Rádió Szimfonikus Zenekarához szerződött 2004-ben. 2007-től 2013-ig a Müncheni Filharmonikusokkal dolgozott, mint szóló fagottos.
Szólistaként beutazta Európát, és rangos zenekarokkal játszott együtt, többek között a Berlini Rádió Szimfonikus Zenekarával, a Müncheni Filharmonikusokkal, a Müncheni Kamarazenekarral és a Helsinki Filharmonikus Zenekarral. A nagy finn zeneszerző, Kalevi Aho által a számára komponált fagottversenyt 2005-ben mutatták be Helsinkiben.
Kamarazenészként is számos meghívásnak tett eleget, a legjelentősebb fesztiválokon szerepelt egész Európában, valamint különböző CD-felvételeken játszott a saját Chantilly Kvintettjével, illetve a Berlini Filharmonikus Oktettel. A bemutatkozó szóló-CD-je 2011-ben jelent meg Le Charme du Basson címmel.
Bogányi Bence 2009. óta a Nürnbergi Zeneművészeti Főiskola fagott professzora, 2013 szeptemberében felkérték a Hannoveri Zenei, Színházművészeti és Média Főiskola professzorának is. Ezeken kívül egész Európában és Ázsiában tart mesterkurzusokat.